Introducción al mundo de las Funciones

El origen de las funciones

Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de función. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x.  mostró en sus trabajos de geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de "variable'' y "función'', realizando una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultanea, las ecuaciones que las representan. En 1694 el matemático alemán G. W. Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente.

En la obra Introductio in Analysi Infinitorum, Leonhard Euler  introdujo en 1734 el símbolo f(x) para designar la imagen de x por una función f. en esta obra intenta por primera vez dar una definición formal del concepto de función al afirmar que: "Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por números o cantidades constantes''. Como puede observarse, esta definición difiere de la que actualmente se conoce, pues siete años después afirmó: ''Algunas cantidades en verdad dependen de otras, si al ser combinadas las ultimas las primeras también sufren cambio, y entonces las primeras se llaman funciones de las últimas. Esta denominación es bastante natural y comprende cada método mediante el cual una cantidad puede ser determinada por otras. Así  si x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x en cualquier forma están determinadas por x y se les llama funciones de x''.

René Descartes

La noción de función que más se utiliza en la actualidad fue dada en el año 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859). Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla que hace corresponder a cada elemento x perteneciente al conjunto A, uno y solo un elemento y del conjunto B, llamado imagen de x por f, que se denota y=f (x). 

La notación y = f (x) señala que y es una función de x. La variable x es la variable independiente, y el valor y se llama variable dependiente, y f es el nombre de la función.  

El conjunto de todas las imágenes de los elementos de A a través de f se denomina Recorrido de f, y se denota Rec (f).

Aplicación de las Funciones en la Vida Cotidiana 

Las funciones permiten describir el mundo real en términos matemáticos, en muchas situaciones encontramos que dos o más objetos o cantidades están relacionados por una correspondencia de dependencia como por ejemplo, el área de un círculo depende del radio del mismo, la temperatura de ebullición del agua depende de la altura del lugar, la distancia recorrida por un objeto al caer libremente depende del tiempo que transcurre en cada instante. Esto nos conduce al concepto matemático de función. 

Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. 

Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona  un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y".

Las funciones están en todas partes, como por ejemplo, las variaciones de la temperatura, el movimiento de los planetas, las ondas cerebrales, los ciclos comerciales, el ritmo cardíaco, el crecimiento poblacional etc. Es por esta razón que resulta útil su estudio.

Representaciones de una función real 

Una función real, en general, puede ser representada de distintas maneras:

• Mediante un conjunto de pares ordenados, o tabla de valores. 
Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3),... (x, x+2)}
 Haz clic aquí: Para saber mas sobre  Par Ordenado

• Mediante una expresión verbal, donde se describe una regla con una descripción en palabras.

Ejemplo: La función que asigna a cada día de la semana su siguiente tiene por inversa la función que asigna a cada día de la semana su antecesor: 
Lunes → Domingo, Martes → Lunes,..., Domingo → Lunes

• Mediante una expresión algebraica, con una fórmula explícita.

• Mediante una gráfica, representada en un sistema de coordenadas cartesianas.

Haz clic aquí: Para saber más sobre Representación Gráfica de una Función

Estas cuatro formas de representar una función son equivalentes, sin embargo no siempre es posible el paso de una a otra.

Clasificación de las Funciones Reales 

Clasificación de las Funciones Reales

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Bibliografía y otras referencias:

•  Curso: Modelos matemáticos y funciones. Universidad de Talca Profesores: Juanita Contreras S. y Claudio del Pino O. Instituto de Matemática y Física

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